Elektrostatyka

\% http://pl.wikipedia.org/wiki/Pomoc:Wzory

Ładunki elektryczne

Źródłem ładunków elektrycznych jest materia. W jądrach atomów znajdują się ładunki dodatnie - protony, natomiast wokół jąder atomów krążą
ładunki ujemne - elektrony.
Wartości ładunków elektrycznych elektronów i protonów są jednakowe.
Atom jako całość jest elektrycznie obojętny, a więc ma tyle samo elektronów co protonów.
Wartość ładunku elektrycznego protonu i elektronu nazywa się ładunkiem elementarnym.
Ładunek ciała zawsze jest wielokrotnością ładunku elementarnego.
Jednostką ładunku elektrycznego jest kulomb - [C].
Ładunek elementarny ma wartość $e = 1,6*10^{-19} C$.
Ładunek elementarny jest najmniejszą "ilością" ładunku swobodnego.
Cząstki tworzące protony i neutrony, czyli kwarki, mają ładunek równy 2/3 lub -1/3 ładunku elementarnego. Mogą istnieć tylko w układach związanych, czyli "nie samotnie".

Elektryzowanie ciał

Ciała, których atomy mają elektrony swobodne - tzw. elektrony przewodnictwa, nazywa się przewodnikami. Z ciał, które są przewodnikami ładunek można łatwo sprowadzić do ziemi - np. przez dotknięcie ręką. Są nimi metale, ciało ludzkie, …
Ciała, które elektronów przewodnictwa nie mają, to izolatory. Są nimi szkło, ebonit, siarka, parafina….
Podczas elektryzowania ciał elektrony mogą być przenoszone z jednego ciała do drugiego lub przemieszczane wewnątrz ciała.
Są trzy metody elektryzowania ciał:

  1. elektryzowanie przez dotyk - elektrony z ciała naelektryzowanego ujemnie przepływają do ciała elektrycznie obojętnego lub naładowanego dodatnio. Ładunki na obu ciałach rozłożą się równomiernie.
  2. elektryzowanie przez pocieranie - np. ebonit potarty futrem elektryzuje się ujemnie - elektrony z futra "przechodzą" do ebonitu, natomiast szkło potarte jedwabiem elektryzuje się ujemnie - elektrony ze szkła "przepływają" do jedwabiu.
  3. elektryzowanie przez wpływ (indukcję) - po zbliżeniu ciała naelektryzowanego dodatnio elektrony w przewodniku przesuwają się jak najbliżej tego ciała. Po odsunięciu ciała naelektryzowanego - "wracają" na swoje miejsca.

Pierwsze dwa sposoby elektryzują ciało trwale, a trzeci - nietrwale.
Do badania naelektryzowania ciał służy elektroskop.
Jest to urządzenie, którego najważniejszą częścią są tzw. listki. Elektroskop ładujemy dotykając naelektryzowanym przedmiotem kuleczki w wierzchołku elektroskopu, która jest połączona z listkami. Po naelektryzowaniu listki odpychają się od siebie, bo mają taki sam ładunek.
Gdy elektryzujemy elektroskop przez indukcję, po zbliżeniu naładowanej ujemnie laski ebonitowej do kuleczki elektroskopu swobodne elektrony z kuleczki zostają odepchnięte przez elektrony z laski i odpływają do listków. Listki ładują się ujemnie i odpychają się od siebie. Po odsunięciu laski - elektrony znów rozkładają się równomiernie w listkach i pozostałych elementach elektroskopu, więc listki przestają się odpychać wzajemnie i opadają.
Analogicznie - gdy zbliżymy do kuleczki elektroskopu szklaną pałeczkę naładowana dodatnio - elektrony zbliżą się do kuleczki ("uciekną" z listków), listki naładują się dodatnio i będą się odpychały. Dopiero, gdy oddalimy pałeczkę - elektrony wrócą na swoje miejsca.

Zasada zachowania ładunku

W układzie ciał izolowanych całkowita ilość ładunku elektrycznego (czyli suma ładunków dodatnich i ujemnych ) nie ulega zmianie.
Suma ładunku może ulec zmianie tylko wtedy, gdy układ pobiera lub oddaje ładunki od innych układów.

Prawo Coulomba

Dwa ładunki punktowe Q i q działają na siebie siłą F wprost proporcjonalną do iloczynu tych ładunków i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich odległości r.

(1)
\begin{align} F = {{k*Q*q} \over{r^2}} \end{align}

Dla ładunków jednoimiennych siła Coulomba jest siłą wzajemnego odpychania, a dla ładunków różnoimiennych - siłą wzajemnego przyciągania.
Współczynnik k opisuje się wzorem:

(2)
\begin{align} k = {1 \over{4*\pi*\epsilon*\epsilon_0}} \end{align}

gdzie:
$\epsilon_0$ - to tzw. przenikalność elektryczna próżni równa

(3)
\begin{align} \epsilon_0 = 8,85 * 10^{-12} {{N*m^2} \over{C^2}} \end{align}

$\epsilon$ - to tzw. względna przenikalność elektryczna ośrodka, dla próżni $\epsilon$ = 1, dla innych ośrodków (olej, aerozol….) ma wartości inne.
W próżni wartość k wynosi:

(4)
\begin{align} k = 9 * 10^9 {{N*m^2} \over {C^2}} \end{align}

Siła Coulomba działa wzdłuż prostej łączącej środki ładunków oddziałujących ze sobą.

Pole elektryczne

Ładunek elektryczny wytwarza wokół siebie pole elektryczne, tj. przestrzeń, w której na jakikolwiek ładunek elektryczny działają siły elektryczne.
Ładunek, który uznajemy za źródło pola oznaczamy Q, a ładunek dodatni umieszczony w polu (tzw. ładunek próbny) q0.
Każdy punkt pola charakteryzuje wielkość wektorowa - natężenie pola elektrostatycznego E.
Jest to wektor o kierunku i zwrocie takim jak działająca w danym punkcie na ładunek próbny siła. Wartość natężenia jest równa stosunkowi siły Coulomba do ładunku próbnego.

(5)
\begin{align} E = {F \over q_0} = {kQ \over r^2} \end{align}

Wartość natężenia pola E jest taka sama we wszystkich punktach odległych od źródła pola o r (czyli na powierzchni kuli), a zwroty i kierunek natężenia w tych punktach będzie różny.
Gdy pole wytwarzane jest przez kilka ładunków (układ), to na ładunek próbny działa siła wypadkowa, będąca sumą geometryczną sił działających ze strony wszystkich ładunków.
Dipolem nazywamy układ dwóch ładunków punktowych o przeciwnych znakach i równych wartościach. Odcinek łączący te ładunki to oś dipola.

Linie pola elektrycznego

Linie pola elektrycznego to umowne linie, po których poruszają się dodatnie ładunki punktowe umieszczone w polu elektrycznym. Na ogół są one liniami krzywymi, do których wektor natężenia pola E jest styczny w danym punkcie. Zwrot linii pola jest zgodny z wektorem natężenia pola E.
W związku z tym linie pola, którego źródłem pola jest ładunek punktowy dodatni rozbiegają się promieniście z ładunku a linie pola, którego źródłem jest ładunek punktowy ujemny zbiegają się centralnie. Takie pola nazywa się polami centralnymi.
Linie pola pomiędzy naładowanymi różnoimiennie płytami są równoległe do siebie. Takie pole nazywa się polem jednorodnym.

Praca w polu elektrycznym przy przemieszczaniu ładunku

Wyobraźmy sobie, że umieścimy w punkcie O ładunek +Q (źródło pola elektrostatycznego), a w punkcie A ładunek swobodny +q0 (czyli taki, który może się poruszać). Ponieważ oba ładunki są dodatnie, to działa między nimi siła wzajemnego odpychania. powoduje ona przemieszczanie sie ładunku swobodnego q0 z punku A do punktu B.
Podczas tego przemieszczania siła elektrostatyczna wykonuje pracę:

(6)
\begin{align} W = F (r_B - r_A) cos (\vec{F}, \vec{s} ) = \sqrt{F_A F_B}(r_A - r_B)cos0^0 \end{align}

Ponieważ siła działającą na ładunek i kierunek przemieszczenia ładunku są równoległe, tzn, że kąt między nimi wynosi 00.
Siła na odcinku AB ma zmienną wartość (bo zmienia się odległość od ładunku źródłowego) r, dlatego wyrażenie na siłę jest średnią geometryczną.
Po podstawieniu wartości na siły otrzymujemy

(7)
\begin{align} W_AB = kQq_0 (\frac {1}{r_A} - \frac {1}{r_B}) = E_p(A) - E_p(B) \end{align}

czyli praca przy przesunięciu ładunku z punktu A do B równa jest różnicy energii potencjalnych w tych punktach.
Praca w polu elektrostatycznym nie zależy od kształtu drogi, jaki pokonuje przesuwany ładunek a jedynie od tego skąd i dokąd ładunek jest przesuwany (czyli od położenia punktu początkowego i końcowego ruchu względem punktu O).
Pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym - tzn. przy przesuwaniu ładunku z punktu A do B oddaje tę samą ilość energii, jaka musi być dostarczona, aby ładunek przenieść z punktu B do A.

Potencjał pola elektrostatycznego

Potencjałem pola elektrostatycznego nazywamy stosunek energii potencjalnej, jaką posiada ładunek próbny q0 w danym punkcie pola do wartości tego ładunku.
Jest to wielkość skalarna

(8)
\begin{align} V_A = \frac {E_p}{q_0} = \frac {kQq_0}{r_Aq_0} = \frac {kQ}{r_A} \end{align}

Jednostką potencjału jest wolt $1V = \frac {1J}{1C}$.
Pracę w polu elektrostatycznym przy przemieszczaniu ładunku q_0 między punktami A i B można zapisać jako:

(9)
\begin{align} W_AB = kQq_0 (\frac {1}{r_A} - \frac {1}{r_B}) = q_0 (\frac{kQ}{r_A} - \frac{kQ}{r_B}) = q_0 (V_A - V_B) = q_0 U_AB \end{align}

Różnicę potencjałów nazywamy napięciem.
Różnica potencjałów pomiędzy danymi punktami pola wynosi 1 wolt, gdy przy przemieszczaniu ładunku 1 kulomba między tymi punktami praca sił pola wynosi 1 dżul.
Wszystkie punkty, które mają ten sam potencjał tworzą powierzchnię, którą nazywa się ** powierzchnią ekwipotencjalną**.
Praca przy przemieszczaniu ładunku z jednego punktu na powierzchni ekwipotencjalnej do innego punktu na tej samej powierzchni wynosi zero.

Pojemność elektryczna

Pojemnością elektryczną przewodnika nazywamy stałą wielkość charakterystyczną dla danego przewodnika, która jest stosunkiem wprowadzonego na przewodnik ładunku, do wytworzonego przez ten ładunek potencjału.

(10)
\begin{align} C = \frac {Q}{V} \end{align}

W układzie SI jednostką pojemności są farady [F].
Pojemność przewodnika wynosi 1 farad, gdy ładunek 1 kulomba wprowadzony na przewodnik wytwarza potencjał 1 wolta.
W praktyce używa się jednostek mniejszych od farada - milifaradów, pikofaradów, mikrofaradów.
Pojemność przewodnika zależy od tego, jaki jest przewodnik - jakie są jego wymiary, obecności innych przewodników w pobliżu, środowiska, w którym znajduje się przewodnik.
Gdy na kulę o promieniu r wprowadzimy ładunek q, to taką naładowaną kulę można potraktować jak ładunek punktowy umieszczony w jej środku.
Potencjał ładunku punktowego w odległości r od niego (czyli na powierzchni pewnej kuli o promieniu r) wynosi:

(11)
\begin{align} V =k * \frac {q}{r} \end{align}

W związku z tym pojemność elektryczna kuli wynosi:

(12)
\begin{align} C = \frac {Q}{V} = \frac {q}{k * \frac {q}{r}} = \frac {r}{k} \end{align}

Jak widać. pojemność kuli jest proporcjonalna do jej promienia.

Kondensatory

Pojemność przewodnika zmienia się, gdy zmienia się względem tego przewodnika położenie innych przewodników połączonych z ziemią (uziemionych).
Kondensatorem nazywamy układ dwóch przewodników, w których obecność jednego wpływa na zmianę pojemności drugiego.
Kondensator płaski jest układem dwóch równoległych płytek z przewodnika, z których jedna jest uziemiona. Płytki (okładki kondensatora) o powierzchni S każda znajdują się w odległości d od siebie.
Pojemność kondensatora płaskiego zależy od pola powierzchni płytek i do ich odległości oraz tego, co znajduje się pomiędzy płytkami (powietrze, papier, mika…).

(13)
\begin{align} C = \epsilon * \frac {S}{d} \end{align}

Łączenie kondensatorów

Energia naładowanego kondensatora

Ruch ładunku w polu elektrycznym

Zadania

Łatwe

  1. Dwa ładunki q1= 1 x 10-8 C i q2 = 2 x 10-8 C znajdują się w odległości 50 cm od siebie w powietrzu. Oblicz wartość siły, z jaką oddziałują na siebie te ładunki.
  2. Jaka będzie wartość siły, z jaką oddziałują na siebie ładunki z zadania 1, gdy odległość między nimi zwiększymy trzykrotnie?
  3. Jaka będzie wartość siły, z jaką oddziałują na siebie ładunki z zadania 1, gdy odległość między nimi zmniejszymy trzykrotnie?
  4. Jaka będzie wartość siły, z jaką oddziałują na siebie ładunki z zadania 1, gdy pierwszy ładunek zmniejszy się czterokrotnie?
  5. Jaka będzie wartość siły, z jaką oddziałują na siebie ładunki z zadania 1, gdy pierwszy ładunek zwiększy się czterokrotnie?
  6. Jaka będzie wartość siły, z jaką oddziałują na siebie ładunki z zadania 1, gdy pierwszy ładunek zmniejszy się czterokrotnie i będą się one znajdowały nie w powietrzu, ale w cieczy o stałej dielektrycznej równej 4?
  7. Dwie jednakowe kule (czyli o jednakowych wymiarach i masach) naładowano jednakowymi co do znaku ładunkami o wartościach q1 i q2. Oblicz masy kul, jeśli wiadomo, że siła odpychania kulombowskiego równoważy siłę przyciągania grawitacyjnego.
  8. Oblicz wartość siły elektrostatycznej, z jaką oddziałują na siebie elektron i proton w atomie wodoru. Oblicz wartość siły grawitacji, z jaką oddziałują na siebie elektron i proton w atomie wodoru. Porównaj te siły. Potrzebne dane znajdź w tablicach fizycznych.
  9. Dodatni ładunek q1 = 1 x 10-8 C znajduje się w odległości 4 m od dodatniego ładunku q2 = 2 x 10-8 C. Znajdź na linii łączącej te ładunki punkt, w którym natężenie wypadkowego natężenia pola elektrycznego wynosi 0.

Takie sobie

  1. Dwa ładunki q1= 1 x 10-8 C i q2 = 2 x 10-8 C znajdują się w odległości 50 cm od siebie w powietrzu i nie mogą sie przesuwać. Gdzie pomiędzy ładunkami q1 i q2 należy umieścić trzeci ładunek q o niewielkiej wartości, aby układ był w równowadze?
  2. Na nierozciągliwej nici wisi kulka o masie m=2g naładowana dodatnim ładunkiem q = 10-8C. Bezpośrednio pod nią umieszczono ładunek Q o wartości Q = 2 x 10-8C. Oblicz siłę naciągu nici, gdy ładunek Q ma znak dodatni i w przypadku, gdy ma znak ujemny.
  3. Trzy ładunki o jednakowych wartościach i znakach umieszczono w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Jaka siła działa na czwarty, taki sam ładunek umieszczony w środku tego trójkąta? Przeanalizuj tę samą sytuację, ale jeden z ładunków wierzchołkowych niech będzie ujemny.
  4. Trzy ładunki o jednakowych wartościach i znakach dodatnich umieszczono w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Jaka siła działa na czwarty, taki sam ładunek umieszczony w środku boku tego trójkąta? Przeanalizuj tę samą sytuację, ale jeden z ładunków wierzchołkowych niech będzie ujemny.
  5. Cztery jednakowe, dodatnie ładunki umieszczono w narożnikach kwadratu. Jaka siła działa na piąty, taki sam ładunek umieszczony w środku kwadratu? Przeanalizuj tę samą sytuację, ale jeden z ładunków wierzchołkowych niech będzie ujemny. Przeanalizuj tę samą sytuację, ale dwa z ładunków wierzchołkowych niech będą ujemne i ułożone na przemian a następnie przeanalizuj tę samą sytuację, ale ładunki niech będą ułożone tak: dwa dodatnie, dwa ujemne.
  6. Cztery jednakowe, dodatnie ładunki umieszczono w narożnikach kwadratu. Jaka siła działa na piąty, taki sam ładunek umieszczony w środku boku kwadratu? Przeanalizuj tę samą sytuację, ale jeden z ładunków wierzchołkowych niech będzie ujemny. Przeanalizuj tę samą sytuację, ale dwa z ładunków wierzchołkowych niech będą ujemne i ułożone na przemian a następnie przeanalizuj tę samą sytuację, ale ładunki niech będą ułożone tak: dwa dodatnie, dwa ujemne.
  7. Trzy jednakowe ładunki dodatnie umieszczono w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Jaka jest wartośc natężenia pola elektrostatycznego w środku tego trójkąta? Przeanalizuj tę samą sytuację, ale jeden z ładunków wierzchołkowych niech będzie ujemny.
  8. Trzy jednakowe ładunki dodatnie umieszczono w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Jaka jest wartość natężenia pola elektrostatycznego w środku boku tego trójkąta? Przeanalizuj tę samą sytuację, ale jeden z ładunków wierzchołkowych niech będzie ujemny.
  9. Cztery jednakowe, dodatnie ładunki umieszczono w narożnikach kwadratu. Jaka jest wartość natężenia pola elektrostatycznego w środku kwadratu? Przeanalizuj tę samą sytuację, ale jeden z ładunków wierzchołkowych niech będzie ujemny. Przeanalizuj tę samą sytuację, ale dwa z ładunków wierzchołkowych niech będą ujemne i ułożone na przemian a następnie przeanalizuj tę samą sytuację, ale ładunki niech będą ułożone tak: dwa dodatnie, dwa ujemne. Przeanalizuj tę samą sytuację, ale trzy z ładunków wierzchołkowych niech będą ujemne.
  10. Cztery jednakowe, dodatnie ładunki umieszczono w narożnikach kwadratu. Jaka jest wartość natężenia pola elektrostatycznego w środku boku kwadratu? Przeanalizuj tę samą sytuację, ale jeden z ładunków wierzchołkowych niech będzie ujemny. Przeanalizuj tę samą sytuację, ale dwa z ładunków wierzchołkowych niech będą ujemne i ułożone na przemian a następnie przeanalizuj tę samą sytuację, ale ładunki niech będą ułożone tak: dwa dodatnie, dwa ujemne. Przeanalizuj tę samą sytuację, ale trzy z ładunków wierzchołkowych niech będą ujemne.

Trudne

#

PW obu przypadkach oblicz natężenie pol

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License